【題目】已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,其中,.
(1)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列是等比數(shù)列,求的值;
(3)若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
【答案】(1)見解析(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意得到,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)是等比數(shù)列,設(shè)其公比為,根據(jù),,,可構(gòu)造方程進(jìn)而求得參數(shù)值;(3)先求得,由,得,兩式相減得:,化簡(jiǎn)得到,再由迭代的方法得到數(shù)列進(jìn)而證得數(shù)列是等差數(shù)列.
解析:
(1)證明:若,則當(dāng)(),
所以,
即,
所以,
又由,,
得,,即,
所以,
故數(shù)列是等比數(shù)列.
(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為( ),
當(dāng)時(shí),,即,得
, ①
當(dāng)時(shí),,即,得
, 、
當(dāng)時(shí),,即,得
, ③
②①,得 ,
③②,得 ,
解得.
代入①式,得.此時(shí)(),
所以,是公比為1的等比數(shù)列,
故.
(3)證明:若,由,得,
又,解得.
由,, ,,代入得,
所以,,成等差數(shù)列,
由,得,
兩式相減得:
即
所以
相減得:
所以
所以
,
因?yàn)?/span>,所以,
即數(shù)列是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢驗(yàn)學(xué)習(xí)情況,某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)于近期舉辦一場(chǎng)競(jìng)賽活動(dòng),分別從甲、乙兩班各抽取10名學(xué)員的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,其成績(jī)的莖葉圖如圖所示(單位:分),假設(shè)成績(jī)不低于90分者命名為“優(yōu)秀學(xué)員”.
(1)分別求甲、乙兩班學(xué)員成績(jī)的平均分(結(jié)果保留一位小數(shù));
(2)從甲班4名優(yōu)秀學(xué)員中抽取兩人,從乙班2名80分以下的學(xué)員中抽取一人,求三人平均分不低于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,已知,.
(Ⅰ)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,…8,其中為標(biāo)準(zhǔn),為標(biāo)準(zhǔn). 已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件; 乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為元/件,假定甲, 乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).
(Ⅰ)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下所示:
5 | 6 | 7 | 8 | |
0.4 | b | 0.1 |
且的數(shù)學(xué)期望, 求a,b的值;
(Ⅱ)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù),從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件,相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本,數(shù)據(jù)如下:
用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,求等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的條件下,若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.
注: ①產(chǎn)品的“性價(jià)比”=;②“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線在平面直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的普通方程及極坐標(biāo)方程;
(2)直線的極坐標(biāo)方程是,射線: 與曲線交于點(diǎn)與直線交于點(diǎn),求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解戶籍性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響,某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為100的調(diào)查樣本,其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各50人;男性60人,女性40人,繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖(如圖所示),其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例,則下列敘述中錯(cuò)誤的是( )
A. 是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)
B. 是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)
C. 傾向選擇生育二胎的人員中,男性人數(shù)與女性人數(shù)相同
D. 傾向選擇生育二的人員中,農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線是.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)恒成立時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,原點(diǎn)為,橢圓的動(dòng)弦過焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸,弦的中點(diǎn)為,過且垂直于線段的直線交直線于點(diǎn).
(1)證明:三點(diǎn)共線;
(2)求的最大值.
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