Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線是.

(1)求函數(shù)的極值；

(2)當(dāng)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）由題意可得函數(shù)的解析式（），則，的極大值為，無(wú)極小值.

（2）原問(wèn)題等價(jià)于在恒成立，

【法一】設(shè)，由題意可得；.據(jù)此有，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【法二】設(shè)（），則，

結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，即，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)處的切線是，所以，且

所以，即（）

所以，所以在上遞增，在上遞減

所以的極大值為，無(wú)極小值.

（2）當(dāng)在恒成立時(shí),由（1），

即在恒成立，

【法一】設(shè)，則，，

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.

所以均在處取得最值，所以要使恒成立，

只需，即，解得，又，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【法二】設(shè)（），則

當(dāng)時(shí)，，，則，，即

當(dāng)時(shí)，，，則，，即

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以，即，又

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.