Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-x³，a∈R，
（1）若f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在[-2，2]上的值域也是[-2，2]，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，即有f′（x）≤0在R上恒成立，即有a≤3x²，求出右邊的最小值即可；
（2）對a討論，分若a≤0，a≥12，0＜a＜12三種情況，分別判斷單調(diào)性，解方程求出a，加以判斷即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax-x³的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=a-3x²，
由于f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
且y=f′（x）的圖象是開口向下的拋物線，
則f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
即有f′（x）≤0在R上恒成立，即有a≤3x²，
由于3x²≥0，則a≤0；
（2）由于f（-x）=-ax-（-x）³=-（ax-x³）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，
若a≤0，則為減函數(shù)，
f（x）在[-2，2]上的值域也是[-2，2]，
即有f（-2）=2，且f（2）=-2，
即2a-2³=-2，解得，a=3＞0，不成立．
則a＞0，由f′（x）＞0，解得，-

a 3

＜x＜

a 3

，f（x）遞增，
由f′（x）＜0，解得x＞

a 3

，或x＜-

a 3

，f（x）遞減．
當(dāng)

a 3

≥2即a≥12，區(qū)間[-2，2]遞增，則有f（-2）=-2，且f（2）=2，
即有2a-8=2，解得，a=5＜12不成立；
當(dāng)

a 3

＜2即0＜a＜12，區(qū)間[-2，2]遞減，則有f（-2）=2，且f（2）=-2，
即2a-2³=-2，解得，a=3，成立．
綜上可得，a=3．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求值域，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．