Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：＞．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）根據(jù)是的極值點(diǎn)得，可得導(dǎo)函數(shù)值為0，即，求得．進(jìn)一步討論導(dǎo)函數(shù)為正、負(fù)的區(qū)間，即得解；

（2）可以有兩種思路，一種是注意到當(dāng)，時(shí)，，

轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，＞．

研究函數(shù)當(dāng)時(shí)， 取得最小值且．

證得，==．

得證.

第二種思路是：當(dāng)，時(shí)，，根據(jù),轉(zhuǎn)化成．

構(gòu)造函數(shù)，研究得到函數(shù)在時(shí)取唯一的極小值即最小值為．達(dá)到證明目的.

試題解析：（1），由是的極值點(diǎn)得，

即，所以．　　　 ２分

于是，，

由知 在上單調(diào)遞增，且，

所以是的唯一零點(diǎn)． ４分

因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． ６分

（2）解法一：當(dāng)，時(shí)，，

故只需證明當(dāng)時(shí)，＞．　 ８分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，

故在上有唯一實(shí)根，且． 10分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

從而當(dāng)時(shí)， 取得最小值且．

由得,． 12分

故

==．

綜上，當(dāng)時(shí)，．　 14分

解法二：當(dāng)，時(shí)，，又,所以

．　 ８分

取函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，得函數(shù)在時(shí)取唯一的極小值即最小值為．　 12分

所以，而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，故＞． 14分