Question

2．已知一動點P在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)部，且點P到棱AB、AD、AA₁的距離的平方和為2，則動點P的軌跡和正方體的側(cè)面所圍成的幾何體的體積為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$；
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標，利用已知條件列出關(guān)系式，然后判斷所求軌跡的形狀，然后求解體積．

解答 解：設(shè)P（x，y，z），如圖：由題意可得x²+y²+y²+z²+z²+x²=2，可得：x²+y²+z²=1．
P到A的距離為1，
幾何體是以A為球心，半徑為1的$\frac{1}{8}$球體．
幾何體的體積為：$\frac{4π}{3}$×1³×$\frac{1}{8}$=$\frac{π}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查幾何體的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力，考查計算能力．