Question

3．如圖在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)DB，AC交于點(diǎn)O，證明OE∥PC，可得OE⊥平面ABCD，可證平面EBD⊥平面ABCD．
（2）過A作AH⊥BC于H，點(diǎn)A到面PBC的距離等于線段AH的長，點(diǎn)E到平面PBC的距離為AH的一半．

解答 解：（1）連結(jié)DB，AC交于點(diǎn)O，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∴O為AC中點(diǎn)，即OE∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD
∵OE?面DBE，∴平面EBD⊥平面ABCD
（2）過A作AH⊥BC于H，∵PC⊥平面ABCD，∴AN⊥面PBC，
點(diǎn)A到面PBC的距離等于線段AH的長，
∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，∴AH=$\sqrt{3}$
∵E為PA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面位置關(guān)系，點(diǎn)面距離，屬于中檔題．