Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）．

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;

(2)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理求解.

(1)由題可得函數(shù)的定義域為，，

令，可得；令，可得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無極大值．

（2）即，即，

因為當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，

所以當(dāng)時，．

令，，則，

設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，，

所以存在，使得，即，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由可得，

所以，，，

由（1）知，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，所以，，

所以，所以，

故實數(shù)的取值范圍為．