Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2x，且g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于b、c的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＜${（x+\frac{2}{x}）}_{max}$，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-ax+b，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f′（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f'（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0），
由f'（x）=0得x=0或x=a，
①當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，0）∪（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0；
故當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）與（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，a）∪（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（a，0）時(shí)，f'（x）＜0；
故當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a）與（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，0）；
③當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)x∈R時(shí)，f'（x）=x²≥0
故當(dāng)a=0時(shí)，f（x）增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2x，
g′（x）=x²-ax+2，依題意，存在x∈（-2，-1），
使不等式g′（x）=x²-ax+2＜0成立，
即x∈（-2，-1）時(shí)，a＜${（x+\frac{2}{x}）}_{max}$=-2$\sqrt{2}$即可．
所以滿足要求的a的取值范圍是（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．