Question

20．（1）用分析法證明：$\sqrt{2}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$；
（2）用反證法證明：三個(gè)數(shù)a，2a²-l，a+l中，至少有一個(gè)大于或等于-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）兩邊平方，尋找使不等式成立的充分條件即可；
（2）假設(shè)結(jié)論不成立，列出不等式組得出矛盾．

解答 證明：（1）要證：$\sqrt{2}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$，
只需證：（$\sqrt{2}+\sqrt{11}$）²＜（$\sqrt{3}+\sqrt{10}$）²，
即證：13+2$\sqrt{22}$＜13+2$\sqrt{30}$，
只需證：$\sqrt{22}$＜$\sqrt{30}$，
只需證：22＜30，
顯然22＜30恒成立，
∴$\sqrt{2}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$．
（2）假設(shè)三個(gè)數(shù)a，2a²-1，a+1都小于-$\frac{1}{6}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{6}}\\{2{a}^{2}-1＜-\frac{1}{6}}\\{a+1＜-\frac{1}{6}}\end{array}\right.$，不等式組無解，
∴三個(gè)數(shù)a，2a²-l，a+l中，至少有一個(gè)大于或等于-$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分析法，反證法證明，屬于中檔題．