Question

4．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為$4（\sqrt{2}+1）$．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）探究$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是否是個定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為$4（\sqrt{2}+1）$，求出a，b，從而能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{m^2}=1$，由等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，求出m，從而能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），則k₁=$\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$，${k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，由此能證明k₁k₂=1．
（Ⅲ）PF₁的方程為y=k₁（x+2），將其代入橢圓方程得$（{2{k_1}^2+1}）{x^2}+8{k_1}^2x+8{k_1}^2-8=0$，由此利用韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是定值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，2a+2c=4（$\sqrt{2}$+1）
解得a=2$\sqrt{2}$，c=2，
又a²=b²+c²，解得b=2．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{m^2}=1$（m＞0），
因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點．
所以m=2，
因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$
證明：（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
則k₁=$\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$，${k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$．
因為點P在雙曲線x²-y²=4上，所以$x_0^2-y_0^2=4$．
因此${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=1$，
故k₁k₂=1．
解：（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于PF₁的方程為y=k₁（x+2），將其代入橢圓方程得$（{2{k_1}^2+1}）{x^2}+8{k_1}^2x+8{k_1}^2-8=0$
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k_1}^2}}{{2{k_1}^2+1}}，\;{x_1}•{x_2}=\frac{{8{k_1}^2-8}}{{2{k_1}^2+1}}$，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k_1}^2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k_1}^2}\sqrt{{{（{\frac{{8{k_1}^2}}{{2{k_1}^2+1}}}）}^2}-4×\frac{{8{k_1}^2-8}}{{2{k_1}^2+1}}}$=$4\sqrt{2}\frac{{{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}$
同理可得$|{CD}|=4\sqrt{2}\frac{{{k_2}^2+1}}{{2{k_2}^2+1}}$．
則$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}=\frac{1}{{4\sqrt{2}}}（\frac{{2{k_1}^2+1}}{{{k_1}^2+1}}+\frac{{2{k_2}^2+1}}{{{k_2}^2+1}}）$，
又k₁k₂=1，
所以$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}=\frac{1}{{4\sqrt{2}}}（\frac{{2{k_1}^2+1}}{{{k_1}^2+1}}+\frac{{\frac{2}{{{k_1}^2}}+1}}{{\frac{1}{{{k_1}^2}}}}）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{8}（\frac{{2{k_1}^2+1}}{{{k_1}^2+1}}+\frac{{{k_1}^2+2}}{{{k_1}^2+1}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$．
故$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$恒成立，即$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是定值$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求示，考查兩直線的斜率之積為1的證明，考查兩線段長的倒數(shù)和是否為定值的探究，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線、橢圓的性質(zhì)的合理運用．