Question

16．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段A₁B上的動點，則下列結論錯誤的是（　�。�

• A． DC₁⊥D₁P
• B． 若直線l是平面ABCD內(nèi)的直線，直線m是平面DD₁C₁C內(nèi)的直線，若l與m相交，則交點一定在直線CD上
• C． 若P為A₁B上動點，則AP+PD₁的最小值為$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
• D． ∠PAD₁最小為$\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 利用DC₁⊥面A₁BCD₁，可得DC₁⊥D₁P，A正確；
利用平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，得出平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，B正確；
將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值．
當A₁P=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，∠APD₁為直角，∠PAD₁=$\frac{π}{6}$；

解答 解：∵A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?面A₁BCD₁，∴DC₁⊥D₁P，A正確；
若直線l是平面ABCD內(nèi)的直線，直線m是平面DD₁C₁C內(nèi)的直線，若l與m相交，則交點一定在直線CD上，根據(jù)公理2，可知正確；
在△D₁A₁A中，∠D₁A₁A=135°利用余弦定理解三角形得AD₁=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，
即AP+PD₁≥$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，∴C不正確；
當A₁P=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，∠APD₁為直角，∠PAD₁=$\frac{π}{6}$，D不正確．
故選：C．

點評 本題考查正方體的結構特征，空間位置關系的判定，轉化的思想．