Question

2．如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體（所有棱長都相等的三棱錐）ABCD的棱長為a，C在平面α內(nèi)，B是直線l上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)O到AD的距離最大時(shí)，直線AD與平面α的距離為$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a．

Answer 1

分析 由題意，直線BC與動點(diǎn)O的位置關(guān)系是：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，因此O到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，故最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線）+半徑=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{1}{2}$a．再考慮取得最大距離時(shí)四面體的情況，此時(shí)AD⊥平面OBC，OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，且AD∥平面α，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：由題意，直線BC與動點(diǎn)O的位置關(guān)系是：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，
∴O到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，
因此：最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線）+半徑
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{1}{2}$a；
再考慮取得最大距離時(shí)四面體的情況，
此時(shí)AD⊥平面OBC，OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，且AD∥平面α，
取AD的中點(diǎn)E，則OCEB四點(diǎn)在同一個(gè)平面上．
過點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，∵平面OCEB⊥α，則EF⊥α．
取BC的中點(diǎn)M，此時(shí)O，E，M是三點(diǎn)共線，
∴直線AD與平面α的距離=EF=OEsin∠EOF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、球的性質(zhì)、正四面體的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．