Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的所有項都是正數(shù)，前n項和為S_n，已知點P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，其中k為大于1的常數(shù)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）已知a₁+a₆=66，a₂a₅=128，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得S_n=ka_n+b，S_n+1=ka_n+1+b，從而（k-1）a_n+1=ka_n，由此能證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）數(shù)列{a_n}的公比q=$\frac{k}{k-1}＞1$，由此推導(dǎo)出a₁=2，a₆=64，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)能求出b．

解答 （本題滿分14分）
證明：（1）∵點P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，其中k為大于1的常數(shù)，
∴S_n=ka_n+b，…（2分）
又S_n+1=ka_n+1+b，
∴S_n+1-S_n=k（a_n+1-a_n），即（k-1）a_n+1=ka_n，…（4分）
∵常數(shù)k＞1，且a_n＞0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{k}{k-1}$，（非零常數(shù)），…（6分）
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（7分）
解：（2）由（1）得數(shù)列{a_n}的公比q=$\frac{k}{k-1}＞1$，
∵a₁+a₆=66，a₂a₅=128=a₁a₆，
∴a₁＜a₆，且a₁，a₆是方程x²-66x+128=0的兩個根，
解方程x²-66x+128=0，解a₁=2，a₆=64，…（10分）
∴（$\frac{k}{k-1}$）⁵=32=2⁵，解得k=2，…（12分）
又S₁=ka₁+b，∴2=2×2+b，解得b=-2．…（14分）

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．