設(shè)C
1、C
2、…、C
n、…是坐標(biāo)平面上的一列圓,它們的圓心都在軸的正半軸上,且都與直線y=
x相切,對每一個(gè)正整數(shù)n,圓C
n都與圓C
n+1相互外切,以r
n表示C
n的半徑,已知{r
n}為遞增數(shù)列.
(1)證明:{r
n}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)r
1=1,求數(shù)列
的前n項(xiàng)和.
(1)見解析(2)
(1)證明:將直線y=
x的傾斜角記為θ,則有tanθ=
,sinθ=
.
設(shè)C
n的圓心為(λ
n,0),則由題意得
=
,得λ
n=2r
n;同理λ
n+1=2r
n+1,從而λ
n+1=λ
n+r
n+r
n+1=2r
n+1,將λ
n=2r
n代入,解得r
n+1=3r
n,故{r
n}為公比q=3的等比數(shù)列.
(2)解:由于r
n=1,q=3,故r
n=3
n-1,從而
=n×3
1-n,
記S
n=
+
+…+
,則有S
n=1+2×3
-1+3×3
-2+…+n×3
1-n,①
=1×3
-1+2×3
-2+…+(n-1)×3
1-n+n×3
-n,②
①-②,得
=1+3
-1+3
-2+…+3
1-n-n×3
-n=
-n×3
-n=
×3
-n,
∴S
n=
×3
1-n=
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,
.
(1)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)
log
2a
n+1 ,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知正項(xiàng)數(shù)列
,其前
項(xiàng)和
滿足
且
是
和
的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2) 符號(hào)
表示不超過實(shí)數(shù)
的最大整數(shù),記
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,設(shè)bn=an+1-2an.證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)
成等比數(shù)列,其公比為2,則
的值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知{a
n}是等比數(shù)列,a
2=2,a
5=
,則a
1a
2+a
2a
3+…+a
na
n+1(n∈N
*)的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如果數(shù)列a
1,
,
,…,
,…是首項(xiàng)為1,公比為-
的等比數(shù)列,那么a
5等于( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在數(shù)列{
an}中,
a1=2i(i為虛數(shù)單位),(1+i)
an+1=(1-i)
an(
n∈N
*),則
a2 012的值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
滿足
="1" 且
,則
=___________.
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