Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且{a₁，a₂，a₃}⊆{-8，-3，-2，0，1，4，9，16，-27}，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且a_n=b_n+b_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=2a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}得前項(xiàng)和數(shù)列S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)列是等差數(shù)列，通過元素與集合關(guān)系，求出數(shù)列項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡數(shù)列的表達(dá)式，利用錯位相減法求解數(shù)列的和．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，則其公比為正數(shù)，
又{a₁，a₂，a₃}⊆{-8，-3，-2，0，1，4，9，16，-27}，
∴a₁=1，a₂=4，a₃=16，∴${a_n}={4^{n-1}}（n∈{N_+}）$，…（3分）
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}={b_1}+{b_3}\\{a_2}={b_2}+{b_4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}2{b_1}+2d=1\\ 2{b_1}+4d=4\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}d=\frac{3}{2}\\{b_1}=-1\end{array}\right.$
所以${b_n}=\frac{1}{2}（3n-5）$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${c_n}=2•\frac{1}{2}（3n-5）•{4^{n-1}}=（3n-5）•{4^{n-1}}$，…（7分）
又S_n=c₁+c₂+L+c_n，
∴${S_n}=（-2）•{4^0}+1•{4^1}+4•{4^2}+L+（3n-5）•{4^{n-1}}$，$4{S_n}=（-2）•{4^1}+1•{4^2}+4•{4^3}+L+（3n-5）•{4^n}$，…（8分）
兩式相減得$-3{S_n}=（-2）•{4^0}+3•{4^1}+3•{4^2}+L+3•{4^{n-1}}-（3n-5）•{4^n}$
=$-2+3\frac{{4（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}-（3n-5）•{4^n}$…（11分）
=（6-3n）4ⁿ-6.${S_n}=（n-2）•{4^n}+2$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列以及數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．