Question

二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為正數(shù)，且對任意x∈R都有f（x）=f（4-x）成立，若f（2-a²）＜f（1+a-a²），那么a的取值范圍是（　�。�

• A、1＜a＜2
• B、a＞1
• C、a＞2
• D、a＜1

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)槭嵌�次函�?shù)，所以從開口、對稱軸、圖象綜合考慮．由對任意x∈R都有f（x）=f（4-x）成立得，對稱軸為x=2，結(jié)合開口向上，則該函數(shù)在（-∞，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．再判斷一下2-a^2_與1+a-a2的范圍，最后再根據(jù)單調(diào)性列出a的不等式求解．

解答： 解：因?yàn)樵摱�次函�?shù)f（x）的二次項系數(shù)為正數(shù)，所以圖象開口向上；
又對任意x∈R都有f（x）=f（4-x）成立，所以對稱軸為x=2；
因此該函數(shù)在（-∞，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，
而2-a²≤2，且1+a-a²=-(a-

1

2

)2+

5

4

＜2；
所以要使f（2-a²）＜f（1+a-a²），
只需2-a²＞1+a-a²，解得a＜1．
故選：D

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查利用二次函數(shù)的圖象解決二次不等式的問題，主要是借助圖象得到該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性根據(jù)函數(shù)值的大小構(gòu)造a的不等式．