Question

1．（1）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)滿足|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a+b=1，求$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$的最小值，并指出取得最小值時(shí)a的值；
（3）求y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$，a∈[2，+∞）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義即可得到答案．
（2）由條件可得：$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$的“1”用a+b替換，b＞0，b＜0，去掉絕對(duì)值，利用基本不等式求其最小值．比較即可得到答案
（3）等式兩邊取倒，得：$\frac{1}{y}=\frac{{a}^{2}+1}{2a}$，分離可得$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}=\frac{1}{y}$，利用基本不等式求其最小值，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．而a≥2，則考慮其單調(diào)性即可得到范圍．

解答 解：（1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：
|x-1|+|x-3的最小值是2，|
要使|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，只需2≥a²+a，
解得：-2≤a≤1
（2）∵a+b=1，
∴$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$=$\frac{a+b}{4|b|}+\frac{|b|}{a}$=$\frac{a}{4|b|}+\frac{4|b|}+\frac{|b|}{a}$
當(dāng)b＞0時(shí)：$\frac{a}{4|b|}+\frac{4|b|}+\frac{|b|}{a}$=$\frac{1}{4}+\frac{a}{4b}+\frac{a}$$≥2\sqrt{\frac{a}{4b}•\frac{a}}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)）
當(dāng)b＜0時(shí)：$\frac{a}{4|b|}+\frac{4|b|}+\frac{|b|}{a}$=$\frac{a}{4b}+\frac{a}-\frac{1}{4}$$≥2\sqrt{\frac{a}{4b}•\frac{a}}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=-1時(shí)取等號(hào)）
由上述可知：$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$的最小值為$\frac{3}{4}$，取得最小值時(shí)a的值等于2；
（3）y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$，
等式兩邊取倒，得：$\frac{1}{y}=\frac{{a}^{2}+1}{2a}$，分離可得$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}=\frac{1}{y}$，
∵$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}≥2\sqrt{\frac{a}{2}•\frac{1}{2a}}=1$，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．此時(shí)y的最大值為1．
而a≥2，則考慮其單調(diào)性
設(shè)：2≤a₁＜a₂
那么：f（a₂）-f（a₁）=$\frac{2{a}_{2}}{{1+{a}_{2}}^{2}}-\frac{2{a}_{1}}{1+{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{2{a}_{2}+2{a}_{2}{{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-2{a}_{1}{{a}_{2}}^{2}}{（1+{{a}_{1}}^{2}）（1+{{a}_{2}}^{2}）}$
分母恒大于0，
化簡分子，得：2（a₂-a₁）-2a₁a₂（a₂-a₁）=（2-2a₁a₂）（a_2-1a）＜0
∴f（a₂）-f（a₁）＜0      所以：a∈[2，+∞）y是單調(diào)減函數(shù)．
當(dāng)a∈[2，+∞）時(shí)，y是單調(diào)減函數(shù)，
∴a=2時(shí)，y取得最大值，即：y=$\frac{2×2}{{1+2}^{2}}=\frac{4}{5}$
又∵a＞0，∴y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$＞0
所以：y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$，a∈[2，+∞）的取值范圍是（0，$\frac{4}{5}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值不等式的解法，考查了計(jì)算能力，注意：當(dāng)利用基本不等式求其最小值（或最大值）時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的值不在其范圍內(nèi)時(shí)．則考慮其單調(diào)性．屬于基礎(chǔ)題．