Question

13．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，M，N分別為A₁B和AC上的點，A₁M=AN=$\frac{\sqrt{2}a}{3}$，則MN與平面BB₁C₁C的位置關(guān)系是（　�。�

• A． 相交
• B． 平行
• C． 垂直
• D． 不能確定

Answer 1

分析 由于CD⊥平面B₁BCC₁，所以$\overrightarrow{CD}$是平面B₁BCC₁的法向量，因此只需證明向量$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{CD}$垂直即可，而$\overrightarrow{CD}$與$\overrightarrow{{B}_{1}B}$和$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$均垂直，而$\overrightarrow{{B}_{1}B}$和$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$又可以作為一組基底表示向量$\overrightarrow{MN}$，因此可以證明．

解答 解：∵正方體棱長為a，A₁M=AN=$\frac{\sqrt{2}a}{3}$，
∴$\overrightarrow{MB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{A}_{1}B}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}B}$）+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$．
又∵$\overrightarrow{CD}$是平面B₁BCC₁的法向量，
且$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$）•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{CD}$，
∴MN∥平面B₁BCC₁．
故選：B．

點評 本題考查線面平行的判定，在適當條件下，可以用向量法證明，只需證明該直線的一個方向向量與該平面的一個法向量垂直即可．要注意的是這兩個向量必須用同一組基底來表示．