Question

5．已知向量$\overrightarrow m$=（2sinx，1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$cosx，2cos²x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$-t．
（ I）若方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求t的取值范圍；
（II）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對(duì)的邊，當(dāng)t=3且f（A）=-1，b+c=2時(shí)，求a的最小值．

Answer 1

分析 （I）由向量數(shù)量積的公式、三角恒等變換公式化簡(jiǎn)解析式，代入方程f（x）=0化簡(jiǎn)后，可得t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出t的取值范圍；
（II）由（I）求出f（A），結(jié)合A為三角形的內(nèi)角求出A，根據(jù)余弦定理求出a²，結(jié)合b+c=2化簡(jiǎn)后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出邊a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$\overrightarrow{m}$=（2sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，2cos²x），
∴f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$-t=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1-t
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-t，
∵方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
∴t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]，
綜上，方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，t的取值范圍為[0，3]；
（Ⅱ）由（I）得，t=3時(shí)，f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2=-1，
化簡(jiǎn)得，sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），則A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc，
由b+c=2得，c=2-b，
∴a²=b²+（2-b）²-b（2-b）=3b²-6b+4=3（b-1）²+1，
∴當(dāng)b=1時(shí)，即b=c=1時(shí)，邊a的最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換公式，余弦定理，及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查方程有解問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)、變形能力．