Question

17．手機(jī)完全充滿電量，在開機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間．為了解A，B兩個(gè)不同型號(hào)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣場(chǎng)庫(kù)存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號(hào)的手機(jī)各7臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

手機(jī)編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7
A型待機(jī)時(shí)間（h）	120	125	122	124	124	123	123
B型待機(jī)時(shí)間（h）	118	123	127	120	124	a	b

其中，a，b是正整數(shù)，且a＜b
（Ⅰ）該賣場(chǎng)有56臺(tái)A型手機(jī)，試估計(jì)其中待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)的臺(tái)數(shù)；
（Ⅱ）從A型號(hào)被測(cè)試的7臺(tái)手機(jī)中隨機(jī)抽取4臺(tái)，記待機(jī)時(shí)間大于123小時(shí)的臺(tái)數(shù)為X，求X 的分布列；
（Ⅲ）設(shè)A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等，當(dāng)B型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的方差最小時(shí)，寫出a，b的值（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）被檢測(cè)的7臺(tái)手機(jī)中有5臺(tái)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)⇒估計(jì)56臺(tái)A型手機(jī)中有$56×\frac{5}{7}=40$臺(tái)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)．
（II）由表格可知，A型號(hào)被測(cè)試的7臺(tái)手機(jī)中待機(jī)時(shí)間大于123小時(shí)的臺(tái)數(shù)為有3臺(tái)，利用超幾何分布概率計(jì)算法則，求解概率．
（Ⅲ）由A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的平均值相等，列方程，求出a，b．

解答 解：（Ⅰ）被檢測(cè)的7臺(tái)手機(jī)中有5臺(tái)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)，因此，估計(jì)56臺(tái)A型手機(jī)中有$56×\frac{5}{7}=40$臺(tái)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)．
（Ⅱ）X可能的取值為0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{1}{C_7^4}=\frac{1}{35}$；$P（X=1）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$；$P（X=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$；$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_7^4}=\frac{4}{35}$．
所以，X 的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

（Ⅲ）若A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的平均值相等，當(dāng)B型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的方差最小時(shí)，a=124，b=125．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽樣方法的基本性質(zhì)，及古典概型的分布列、期望，屬于基礎(chǔ)題．