Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a．
（1）試求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a的圖象在直線ax-y-2=0的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）因式分解，對a進(jìn)行分類討論，由此得到解集．
（2）由函數(shù)圖象在上方，得到作差恒大于0，由此得判別式是恒小于0的，得到a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a=（x-a）（x-1）
①a＜1時，不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}
②a=1時，不等式f（x）＜0的解集是∅
③a＞1時，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜a}．
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a的圖象在直線ax-y-2=0的上方
∴x²-（a+1）x+a-（ax-2）＞0恒成立
即x²-（2a+1）x+a+2＞0
∴△＜0恒成立
即-$\frac{\sqrt{7}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{7}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的因式分解，分類討論，數(shù)形結(jié)合，作差恒大于0，得判別式是恒小于0的．