Question

1．已知圓C的方程為：x²+y²+2x-4y+k=0，（k∈R）．
（1）求圓心C的坐標；
（2）求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)k，使直線l：x-2y+4=0與圓C相交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點）若存在，求出k的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程x²+y²+2x-4y+k=變形為（x+1）²+（y-2）²=5-k，可得圓心C的坐標；
（2）由于此方程表示圓，可得5-k＞0，解出即可；
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與圓的方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)關系，再利用OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，即可解出k．

解答 解：（1）由方程x²+y²+2x-4y+k=變形為（x+1）²+（y-2）²=5-k．
∴圓心C的坐標為（-1，2）；
（2）∵此方程表示圓，∴5-k＞0，解得k＜5，故k的取值范圍是（-∞，5）；
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線與圓可得5y²-16y+8+k=0，
∵直線與圓相交，∴△=16²-20（8+k）＞0，化為k＜$\frac{24}{5}$．
∴y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$．
∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，
∴8+k-$\frac{8×16}{5}$+16=0，
解得k=$\frac{8}{5}$，滿足k＜$\frac{24}{5}$，
故k=$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)關系、向量垂直與數(shù)量積的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．