已知向量
a
=(cosα,sinα),
b
=(-
1
2
3
2
),其中α是銳角.
(Ⅰ)當α=30°時,求|
a
+
b
|;
(Ⅱ)證明:向量
a
+
b
a
-
b
垂直;
(Ⅲ)若向量
a
b
夾角為60°,求角α.
考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:平面向量及應用
分析:(Ⅰ)當α=30°時,求得
a
+
b
的坐標,可得|
a
+
b
|的值.
(Ⅱ)由條件求得(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=0,從而證得向量
a
+
b
a
-
b
垂直.
(Ⅲ)若向量
a
b
夾角為60°,根據兩個向量的數(shù)量積公式、兩個向量的數(shù)量積的定義,求得 sin(α-
π
6
)=
1
2
,從而得到角α的值.
解答: (Ⅰ)解:當α=30°時,
a
=(
3
2
,
1
2
),所以,
a
+
b
=(
3
-1
2
,
3
+1
2
),
所以,|
a
+
b
|=
(
3
-1
2
)
2
+(
3
+1
2
)
2
=
2

(Ⅱ)證明:由向量
a
=(cosα,sinα),
b
=(-
1
2
,
3
2
),
a
+
b
=(cosα-
1
2
,sinα+
3
2
),
a
-
b
=(cosα+
1
2
,sinα-
3
2
),
由 α∈(0,
π
2
)
,得向量
a
+
b
a
-
b
均為非零向量.
因為(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
=(cos2α+sin2α)-(
1
4
+
3
4
)=0,
所以向量
a
+
b
與向量
a
-
b
 垂直.
(Ⅲ)解:因為|
a
|=|
b
|=1,且向量
a
b
夾角為60°,
所以
a
b
=|
a
|•|
b
|•cos60°=
1
2
,所以 -
1
2
cosα+
3
2
sinα=
1
2
,即 sin(α-
π
6
)=
1
2

因為 0<α<
π
2
,所以 -
π
6
<α-
π
6
π
3

所以 α-
π
6
=
π
6
,即α=
π
3
點評:本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、兩個向量的數(shù)量積的定義,兩個向量坐標形式的運算,兩個向量垂直的條件,根據三角函數(shù)的值求角,屬于基礎題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式|2x-1|-|x|≥1的解集是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

觀察以下等式:
C51+C35=23-2,C91+C95+C99=27+23
C131+C135+C139+C1311=211-25
C171+C175+C179+1713+C1717=215+27
由此推測:C20131+C20135+C2013+…+C20132013=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωt+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象如圖1所示,它刻畫了質點P做勻速圓周運動(如圖2)時,質點相對水平直線l的位置值y(|y|是質點與直線l的距離(米),質點在直線l上方時,y為正,反之y為負)隨時間t(秒)的變化過程.則

(1)質點P運動的圓形軌道的半徑為
 
米;
(2)質點P旋轉一圈所需的時間T=
 
秒;
(3)函數(shù)f(t)的解析式為:
 
;
(4)圖2中,質點P首次出現(xiàn)在直線l上的時刻t=
 
秒.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),其前n項和Sn滿足2Sn=a
 
2
n
+an(n∈N*).
(1)證明:{an}為等差數(shù)列;
(2)令bn=
lnan
a
2
n
,記{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn
2n2-n-1
4(n+1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設平面向量
a
b
,滿足|
a
|=3,|
b
|=2,
a
b
=-3,那么
a
,
b
的夾角θ=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
、
b
滿足|
a
|=2
2
,|
b
|=1,
a
b
=2,向量
c
滿足(
a
-
c
)(
b
-
c
)=0,則|
c
|的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
3
,則
AB
AC
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=
1
2
an+
1
2n+1
(n≥1),其中a1=
1
4

(Ⅰ)求a1,a2,a3;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

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