Question

13．已知 （$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$+y）⁶的展開(kāi)式中含${x^{\frac{3}{2}}}$y的項(xiàng)的系數(shù)為15，則a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 將原式化為[（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）+y]⁶，由通項(xiàng)公式可得T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^6-r•y^r，求得r=1，再由通項(xiàng)公式可得T_l+1=${C}_{5}^{l}$（$\sqrt{x}$）^5-l（-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^l=${C}_{5}^{l}$（-a）^lx${\;}^{\frac{5-2l}{2}}$，令$\frac{5-2l}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得l=1，解方程即可得到a的值．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$+y）⁶=[（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）+y]⁶，
可得通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^6-r•y^r，r=0，1，2…，6
由展開(kāi)式中含${x^{\frac{3}{2}}}$y，可得r=1，
由（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁵的通項(xiàng)公式為T_l+1=${C}_{5}^{l}$（$\sqrt{x}$）^5-l（-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^l
=${C}_{5}^{l}$（-a）^lx${\;}^{\frac{5-2l}{2}}$，l=0，1，2，…，5
由題意可得$\frac{5-2l}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得l=1，
可得${C}_{6}^{1}$${C}_{5}^{1}$（-a）=15，解得a=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用：求指定項(xiàng)的系數(shù)，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．