Question

4．設函數f（x）=e^x+ln（x+1）-ax．
（1）當a=2時，判斷函數f（x）在定義域內的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≥cosx恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導函數，利用二次求導得出導函數的最小值等于零，判斷出原函數的單調性；
（Ⅱ）根據第一問結論，求函數的導函數，根據導函數對a進行分類討論，當a≤2時，利用單調性易證結論成立；當a＞2時，構造函數，利用二次求導判斷得出不符合題意，最后得出a 的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數的定義域為（-1，+∞），
f'（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-2，
記g（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-2，g'（x）=e^x-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
當x＞0時，g'（x）＞0，
當-1＜x＜0時，g'（x）＜0，
∴f'（x）≥f'（0）=0，
∴f（x）在（-1，+∞）上遞增；
（Ⅱ）f'（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，由上可知f'（x）在（0，+∞）上遞增，
當a≤2時，f'（x）≥f'（0）=2-a≥0，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（0）=1≥xosx恒成立；
當a＜2時，記m（x）=f（x）-cosx，m'（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a+sinx，
記n（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a+sinx，n'（x）=e^x-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$+cosx，
當x＞1時，n'（x）＞e-$\frac{1}{4}$-1＞0，當0≤x＜1時，n'（x）＞0，
∴m'（x）在（0，+∞）上遞增，
又m'（0）=2-a＜0，故存在x₀，使得m'（x₀）=0，
所以m（x）在（0，x₀）上遞減，當x∈（0，x₀）時，m（x）＜m（0）=0，
∴f（x）＜cosx不成立，
∴實數a的范圍是a≤2．

點評 本題考查了導函數的應用，構造函數，通過二次求導得出導函數的最值從而判斷原函數的單調性．