Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞1），求：
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求該函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為R，
則f（-x）

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
∵a＞1，∴a^x是增函數(shù)，a^x+1是增函數(shù)，
則

2

ax+1

是減函數(shù)，-

2

ax+1

為增函數(shù)，
即f（x）=1-

2

ax+1

為增函數(shù)，
即f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，a＞1，
∴a^x+1＞1，0＜

1

ax+1

＜1，0＜

2

ax+1

＜2，
-2＜-

2

ax+1

＜0，-1＜1-

2

ax+1

＜1，
即-1＜y＜1，
故函數(shù)的值域為（-1，1）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵．