Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=101，a₃+a₄=187，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 由題意可知a₁=101，a₃+a₄=a₁+a₆=187，求得a₆=86，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得d，根據(jù)等差通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，由當(dāng)n≤34時(shí)，求得T_n=$\frac{1}{2}[101+（-3n+104）]•n=-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{205}{2}n$，當(dāng)n≥35時(shí)，求得T_n=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{205}{2}n+3502$，即可求得數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：∵a₁=101，a₃+a₄=a₁+a₆=187，
∴a₆=86
∴a₆-a₁=5d=-15，
∴a_n=-3n+104$|{a_n}|=\left\{\begin{array}{l}-3n+104\\ 3n-104\end{array}\right.$$\begin{array}{l}n∈\left\{{1，2，3，…，34}\right\}\\ n∈\left\{{35，35，37，…}\right\}\end{array}$，
當(dāng)n∈{1，2，3，…，34}時(shí)，
T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，
=$\frac{1}{2}[101+（-3n+104）]•n=-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{205}{2}n$，
當(dāng)n∈{35，35，37，…}時(shí)，
T_n=（|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₃₄|）+（|a₃₅|+|a₃₆|+…+|a_n|），
=$\frac{1}{2}（101+2）•34+\frac{1}{2}[1+（3n-104）]•（n-34）$，
=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{205}{2}n+3502$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{205}{2}n\\ \frac{3}{2}{n^2}-\frac{205}{2}n+3502\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（n≤34）\\ \\（n≥35）\end{array}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查含有絕對值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法，考查分類討論思想，屬于中檔題．