Question

11．已知函數(shù)y=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R
（1）求y的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的集合；
（2）怎樣由y=sinx（x∈R）圖象的平移和伸縮變換來得到該函數(shù)的圖象？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，及相應(yīng)的集合．
（2）利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵y=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2（$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
∴當(dāng)$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x∈{x|x=4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}時(shí)，sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）_max=1，y_max=2．
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得y=sin（x+$\frac{π}{3}$），
再將y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大我原來的2倍而縱坐標(biāo)不變，得y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
再將y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍即可．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的極值的求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題型．