7.如圖,在△ABC中,N為線段AC上接近A點(diǎn)的四等分點(diǎn),若$\overrightarrow{AP}=({m+\frac{2}{9}})\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$,則實(shí)數(shù)m的值為( 。
A.$\frac{1}{9}$B.$\frac{1}{3}$C.1D.3

分析 由題意可知:$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$,設(shè)$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$,$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=(1-λ)$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$,由$\overrightarrow{AP}=({m+\frac{2}{9}})\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$,根據(jù)向量相等可知:$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}=\frac{2}{9}}\\{1-λ=m}\end{array}\right.$,即可求得m的值.

解答 解:N為線段AC上接近A點(diǎn)的四等分點(diǎn),
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$,
設(shè)$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$,則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ($\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$)=(1-λ)$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AN}$=(1-λ)$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$,
∵$\overrightarrow{AP}=({m+\frac{2}{9}})\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}=\frac{2}{9}}\\{1-λ=m}\end{array}\right.$,即λ=$\frac{8}{9}$,m=$\frac{1}{9}$,
故答案選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的基本定理及其意義,考查向量加法的三角形法則及兩個(gè)向量相等的充要條件,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.

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