Question

18．（1）已知$C_{15}^{3x-2}=C_{15}^{x+1}$，求$C_{10}^x+C_{10}^{x-1}$的值；
（2）若${（\root{3}{x}-\frac{1}{x}）^n}（n∈N）$的展開(kāi)式中第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求n．

Answer 1

分析 （1）由$C_{15}^{3x-2}=C_{15}^{x+1}$利用組合數(shù)的性質(zhì)可得：3x-2=x+1或3x-2+（x+1）=15，且x∈N，解出即可得出．
（2）利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）由$C_{15}^{3x-2}=C_{15}^{x+1}$知：3x-2=x+1或3x-2+（x+1）=15，且x∈N，
解之得$x=\frac{3}{2}$（舍去）或x=4．
故$C_{10}^x+C_{10}^{x-1}=C_{10}^4+C_{10}^3=C_{11}^4=330$．
（2）${（\root{3}{x}-\frac{1}{x}）^n}（n∈N）$的第三項(xiàng)${T_3}=C_n^2{（\root{3}{x}）^{n-2}}{（-\frac{1}{x}）^2}=\frac{n（n-1）}{2}{x^{\frac{n-8}{3}}}$，
依題意有$\frac{n-8}{3}=0$，即n=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、組合數(shù)的計(jì)算公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．