Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

（x∈R）．
（1）寫出f（x）的最小正周期及最大值；
（2）求f（x）的增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數(shù)f （x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的最大值，求出函數(shù)f （x）的最大值；
（2）通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)f （x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：由題意得，f（x）=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值是1；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，
-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的正周期、單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，這是�？碱}型．