Question

3．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“理想集合”．給出下列4個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；②M={（x，y）|y=sinx}；③M={（x，y）|y=e^x-2}；
④M={（x，y）|y=lgx}．
其中所有“理想集合”的序號是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 對于①，利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．
對于②，畫出圖象，說明滿足理想集合的定義，即可判斷正誤；
對于③，畫出函數(shù)圖象，說明滿足理想集合的定義，即可判斷正誤；
對于④，畫出函數(shù)圖象，取一個(gè)特殊點(diǎn)即能說明不滿足理想集合定義．

解答 解：對于①y=$\frac{1}{x}$是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角為90°，
在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；
對任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不滿足理想集合的定義，不是理想集合．
對于②M={（x，y）|y=sinx}，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，都能在圖象上找到滿足題意的點(diǎn)，
所以集合M是理想集合；

對于③M={（x，y）|y=e^x-2}，如圖在曲線上兩點(diǎn)構(gòu)成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），滿足理想集合的定義，所以正確．

對于④M={（x，y）|y=lgx}，如圖取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是理想集合．

故選B．

點(diǎn)評 本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．