Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 寫出函數(shù)y=f（x）的圖象恒過的定點坐標；
（Ⅱ）直線L為函數(shù)y=φ（x）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）處的切線（P為切點），如果函數(shù)y=φ（x）圖象上所有的點（點P除外）總在直線L的同側，則稱函數(shù)y=φ（x）為“單側函數(shù)”．
（i）當a=判斷函數(shù)y=f（x）是否為“單側函數(shù)”，若是，請加以證明，若不是，請說明理由．
（i i）求證：當x∈（-2，+∞）時，e^x+x≥ln（x+1）+1．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴當x=0時，f（x）=e⁰-a×0=1
所以函數(shù)y=f（x）的圖象恒過的定點為M（0，1）．
（II）（i）對函數(shù)求導數(shù)，得f'（x）=e^x-a，
當a=時，f'（x）=e^x-，
所以函數(shù)y=f（x）圖象在點P（x₀，y₀）處的切線斜率為k=f'（x₀）=-，
可得切線L的方程為：y-y₀=（-）（x-x₀）
∵y₀=f（x₀）=-x₀，
∴函數(shù)y=f（x）圖象在點P（x₀，y₀）處的切線L的方程化簡，
得：y-（-x₀）=（-）（x-x₀），即y=（-）x+（1-x₀）
設y=g（x）=（-）x+（1-x₀），
再記F（x）=f（x）-g（x）=（e^x-x）-[（-）x+（1-x₀）]=e^x-•x+•x₀-，
對F（x）求導數(shù)，得F'（x）=e^x-，
當x＞x₀時，F(xiàn)'（x）＞0，得函數(shù)F（x）在區(qū)間（x₀，+∞）為增函數(shù)；
當x＜x₀時，F(xiàn)'（x）＜0，得函數(shù)F（x）在區(qū)間（-∞，x₀）為減函數(shù)，
∴當x=x₀時，F(xiàn)（x）有最小值F（x₀）=0．即F（x）≥0對任意的x∈R，都有F（x₀）≥0，
也就是f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立．
因此，函數(shù)f（x）圖象上所有的點都位于切線L的上方，由此可得當a=時，函數(shù)y=f（x）是“單側函數(shù)”．
（ii）由（i）的證明可得e^x+x≥（-）x+（1-x₀），
取x₀=0，得不等式e^x+x≥x+1對任意x∈R都成立…①，
接下來證明x+1≥ln（x+1）+1在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立：
記函數(shù)G（x）=（x+1）-[ln（x+1）+1]=x-ln（x+1），
對G（x）求導數(shù)，得G'（x）=-=
∴當x＞0時，G'（x）＞0，得函數(shù)G（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)；
當-2＜x＜0時，F(xiàn)'（x）＜0，得函數(shù)F（x）在區(qū)間（-2，0）為減函數(shù)，
可得當x=0時，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0對任意的x∈（-2，+∞）都成立．
所以不等式x+1≥ln（x+1）+1在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立…②，
對照①②可得e^x+x≥x+1≥ln（x+1）+1在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立，
即當x∈（-2，+∞）時），e^x+x≥ln（x+1）+1恒成立．
分析：（I）觀察函數(shù)的表達式，可得當x=0時，f（x）=1，所以函數(shù)y=f（x）的圖象恒過定點M（0，1）．
（II）（i）將a=代入，得f（x）=e^x-x，然后利用導數(shù)求得y=f（x）圖象在點P（x₀，y₀）處的切線L方程為：y=（-）x+（1-x₀），再構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=e^x-•x+•x₀-，討論F（x）的單調性得知：當x=x₀時，F(xiàn)（x）有最小值F（x₀）=0．因此，f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，所以函數(shù)f（x）圖象上所有的點都位于切線L的上方，由此得當a=時，函數(shù)y=f（x）是“單側函數(shù)”．
（ii）根據(jù)（i）的結論中的不等式，取x₀=0得不等式e^x+x≥x+1對任意x∈R都成立，然后構造函數(shù)G（x）=（x+1）-[ln（x+1）+1]，討論G（x）的單調性得到當x=0時，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0對任意x∈（-2，+∞）都成立，從而得到x+1≥ln（x+1）+1對任意x∈（-2，+∞）都成立．最后利用不等式的傳遞性，可得當x∈（-2，+∞）時，e^x+x≥ln（x+1）+1恒成立．
點評：本題給出一個特殊的函數(shù)，通過討論函數(shù)的單調性與最值，來證明不等式恒成立，并且用圖象解釋了不等式的幾何意義，考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和函數(shù)與不等式的綜合應用等知識點，屬于難題．