Question

20．已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若f（x）在x=1處與直線$y=-\frac{1}{2}$相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組解出；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出極值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx．
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線$y=-\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{f^'}（1）=0}\\{f（1）=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a-2b=0}\\{-b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．
（2）由（1）得：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．
∴f（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的極大值為f（1）=-$\frac{1}{2}$．無極小值．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．