Question

10．（1）畫出f（x）=x³-6x²+9x的草圖．
（2）當方程x³-6x²+9x+a=0有個2實根時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)得到f′（x）=3（x-1）（x-3），根據(jù)導數(shù)符號便可判斷f（x）的單調(diào)性，并判斷f（x）過原點，f（1）=4，f（3）=0，這樣便可畫出f（x）的草圖；
（2）可設g（x）=x³-6x²+9x+a，從而g（x）是由f（x）向上或向下平移|a|個單位得到，這樣根據(jù)題意即可得出g（x）有兩個零點，根據(jù)上面畫出的草圖便可觀察出a的取值，從而得出a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
∴x＜1，或x＞3時，f′（x）＞0，1＜x＜3時，f′（x）＜0；
即f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0；
∴f（x）的草圖如下：

（2）設g（x）=x³-6x²+9x+a，則g（x）是f（x）沿y軸向上或向下平移|a|個單位得到；
∵方程x³-6x²+9x+a=0有2個實根；
∴g（x）有兩個零點；
根據(jù)上面的草圖得，a=0，或a=-4；
∴a的取值范圍為{-4，0}．

點評 考查基本初等函數(shù)的求導，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及極值點的坐標畫函數(shù)草圖的方法，函數(shù)圖象沿y軸方向上的平移變換，以及函數(shù)零點的定義，數(shù)形結(jié)合解題的方法．