Question

13．如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y=x交拋物線y=-x²+bx+c對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)P，連接PA、PC，設(shè)△AOP的面積為S₁，△COP的面積為S₂．
（1）①若A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），求拋物線y=-x²+bx+c的解析式；
②試判斷S₁與S₂之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過程中，是否存在點(diǎn)P，使S₁=2S₂，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①若A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），代入可構(gòu)造關(guān)于b，c的方程，進(jìn)而可得拋物線y=-x²+bx+c的解析式；②根據(jù)①中A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出S₁與S₂，進(jìn)而可得S₁與S₂之間的關(guān)系．
（2）假定將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過程中，是否存在點(diǎn)P，使S₁=2S₂，利用反證法，可得答案．

解答 解：（1）①若A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），
則$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-x²+2x+3；
②令-x²+2x+3=x，
解得：x=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，或x=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），
即P（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），
則S₁=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{3（1+\sqrt{13}）}{4}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{3（1+\sqrt{13}）}{4}$，
顯然S₁=S₂．
（2）將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過程中，假設(shè)存在點(diǎn)P，使S₁=2S₂，
設(shè)滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），x＞0，
則S₁=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3}{2}$x，
S₂=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3}{2}$x；
若S₁=2S₂，則x=2x，
解得x=0（舍去），
故不存在滿足條件的P點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．