Question

14．已知拋物線C₁：x²=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)．C₁與C₂的公共弦長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，與C₂相交于C、D兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$同向．若|AC|=|BD|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的方程可得C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓的幾何性質(zhì)可得a²-b²=1，結(jié)合橢圓、拋物線的對(duì)稱性分析可得C₁與C₂的公共點(diǎn)在坐標(biāo)，將其坐標(biāo)代入橢圓的方程可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{^{2}}$=1，聯(lián)立兩式解可得a²、b²的值，代入橢圓的方程即可得答案；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$與同向且|AC|=|BD|分析可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄①；設(shè)直線的斜率為k，則可得直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，用根與系數(shù)的關(guān)系表示（x₁+x₂）和（x₁•x₂），同理可表示（x₃+x₄）和（x₃•x₄），將其值代入①中，解可得k的值．

解答 解：（1）拋物線C₁：x²=4y，其開口向上，對(duì)稱軸為y軸，且其焦點(diǎn)為（0，1），
又由拋物線C₁的焦點(diǎn)F也是橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的一個(gè)焦點(diǎn)，
則有a²-b²=1，
又由C₁與C₂的公共弦長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$，而C₁與C₂的都關(guān)于y軸對(duì)稱，
其公共點(diǎn)在坐標(biāo)為（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），
代入橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1中，可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{^{2}}$=1，
解可得a²=9，b²=8，
故橢圓C₂的方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$與同向且|AC|=|BD|，則有$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$，
即有x₁-x₂=x₃-x₄，
變形可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，①
設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，解可得x²-4kx-4=0，有x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，②
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，解可得（9+8k²）x²+16kx-64=0，有x₃+x₄=$\frac{-16k}{9+8{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{-64}{9+8{k}^{2}}$③，
將②③代入①中，有（4k）²-4×（-4）=（$\frac{-16k}{9+8{k}^{2}}$）²-4×（$\frac{-64}{9+8{k}^{2}}$），
解可得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
故直線的斜率k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與拋物線的幾何性質(zhì)，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．