Question

2．下列說法正確的有①②③④
①四邊形ABCD平面內(nèi)有一點(diǎn)O，若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$，則四邊形ABCD為平行四邊形
②△ABC中，若A＞B則sinA＞sinB，反之亦成立
③函數(shù)$y={（\frac{1}{2}）^{\sqrt{{x^2}-2x}}}$的值域?yàn)椋?，1]
④方程$\sqrt{2x+1}=x+m$有兩個(gè)不同解，則$m∈[{\frac{1}{2}，1}）$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量相等的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
②根據(jù)大角對(duì)大邊以及正弦定理進(jìn)行判斷，
③根據(jù)復(fù)合函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，
④利用參數(shù)分離法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷求解．

解答 解：①四邊形ABCD平面內(nèi)有一點(diǎn)O，若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$，
則$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$，即$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CD}$，則四邊形ABCD為平行四邊形，正確，
②△ABC中，若A＞B，則a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB成立，反之亦成立故②正確，
③由x²-2x≥0得x≥2或x≤0，設(shè)t=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$，則t=$\sqrt{（x-1）^{2}-1}$≥0，
則函數(shù)$y={（\frac{1}{2}）^{\sqrt{{x^2}-2x}}}$∈（0，1]，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，1]，故③正確，
④由2x+1≥0得x≥$-\frac{1}{2}$，由$\sqrt{2x+1}=x+m$得m=$\sqrt{2x+1}$-x，
設(shè)f（x）=$\sqrt{2x+1}$-x，x≥$-\frac{1}{2}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}$-1=$\frac{1-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$，
由f′（x）=0得1-$\sqrt{2x+1}$=0得$\sqrt{2x+1}$=1，即2x+1=1，得x=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，且當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，
當(dāng)$-\frac{1}{2}$≤x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
即x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值f（0）=1，
∵f（$-\frac{1}{2}$）=0-（$-\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴要使f（x）=m有兩個(gè)不同解，則$m∈[{\frac{1}{2}，1}）$．故④正確，
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)有一定的難度．