Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x）（x≥0）\\-f（x）（x＜0）\end{array}$．
（1）f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（2）在 （1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)b-2=2a，記F（x）在[0，1]上的最大值為G（a），求函數(shù)G（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)有最小值可判斷f（x）為開口向上的二次函數(shù)，且△=0，列方程解出a，b；
（2）求出g（x）的對稱軸，得出[-2，2]在對稱軸一側(cè)，列出不等式解出k；
（3）求出f（x）的對稱軸，對[0，1]與對稱軸的關(guān)系進(jìn)行討論f（x）的單調(diào)性，從而得出G（a）．

解答 解：（1）∵f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），∴f（x）為二次函數(shù)，且△=b²-4a=0，
又f（-1）=a-b+1=0，解得a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1，∴g（x）的對稱軸為x=$\frac{k-2}{2}$，
∵g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，∴$\frac{k-2}{2}$≤-2或$\frac{k-2}{2}$≥2．
解得k≤-2或k≥6．
（3）∵b-2=2a，∴b=2a+2，∴f（x）=ax²+（2a+2）x+1，
∴當(dāng)x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）=ax²+（2a+2）x+1，
若a=0，則F（x）=2x+1，∴F（x）在[0，1]上是增函數(shù)，∴G（a）=F（1）=3，
若a≠0，則F（x）的對稱軸為x=-$\frac{2a+2}{2a}$=-1-$\frac{1}{a}$，
當(dāng)a＞0時，-1-$\frac{1}{a}$＜0，F(xiàn)（x）在[0，1]上是增函數(shù)，∴G（a）=F（1）=3a+3．
當(dāng)a＜0時，若-1≤-1-$\frac{1}{a}$≤1，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$時，G（a）=F（-1-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{a}$-1，
若-1-$\frac{1}{a}$＞1，即-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，F(xiàn)（x）在[0，1]上是增函數(shù)，∴G（a）=F（1）=3a+3．
若-1-$\frac{1}{a}$＜0，即a＜-1時，F(xiàn)（x）在[0，1]上是減函數(shù)，∴G（a）=F（0）=1，
∴G（G）=$\left\{\begin{array}{l}{1，a＜-1}\\{-a-\frac{1}{a}-1，-1≤a≤-\frac{1}{2}}\\{3a+3，a＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴G（a）在（-∞，-1）上為常量函數(shù)，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴G（a）的最小值為G（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)解析式，函數(shù)單調(diào)性，最值的計(jì)算，分類討論思想，屬于中檔題．