Question

8．已知圓C：x²+（y-3）²=4，過點(diǎn)A（-1，0）的直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=2$\sqrt{3}$，則直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，由弦長公式求出圓心到直線l的距離，對直線l的斜率分類討論，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出直線的斜率，即可求出直線l的方程．

解答 解：由題意畫出圖象，如圖所示：
過圓心C作CM⊥PQ，則|MP|=|MQ|=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\sqrt{3}$，
由圓C的方程得到圓心C坐標(biāo)（0，3），半徑r=2，
在Rt△CPM中，根據(jù)勾股定理得：CM=1，
即圓心到直線的距離為1，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然直線x=-1滿足題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，
又過A（-1，0），則直線l的方程為y=k（x+1），
即kx-y+k=0，
∴圓心到直線l的距離d=$\frac{|-3+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直線l的方程為4x-3y+4=0，
綜上，滿足題意的直線l為x=-1或4x-3y+4=0．
故答案為：x=-1或4x-3y+4=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓相交所截的弦長問題，以及直線方程，考查分類討論思想，屬于中檔題．