Question

3．在正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中．O為面ABCD的中心．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求二面角C-B₁D₁-C₁的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義先作出二面角的平面角，得到∠C₁EC是二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求二面角C-B₁D₁-C₁的大�。�

解答 證明：（1）在正方體中，連接CB₁，
則CB₁⊥BC₁，
∵AB⊥側(cè)面BCC₁B₁，
∴AB⊥CB₁，
∴CB₁⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，
∴CB₁⊥AC₁，
同理CD₁⊥AC₁，
∵CD₁⊥∩CB₁=C
∴AC₁⊥平面B₁CD₁；
解：（2）連接A₁C₁交B₁D₁于E，
在正方體中CB₁=CD₁，
則CE⊥B₁D₁，
又C₁E⊥B₁D₁，
∴∠C₁EC是二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，
設(shè)CC₁=1，則C₁E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則tan∠C₁EC=$\frac{C{C}_{1}}{{C}_{1}E}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即∠C₁EC=arctan$\sqrt{2}$，
即二面角C-B₁D₁-C₁的大小為arctan$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面垂直的判定以及二面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及利用二面角平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．