Question

3．條件p：0＜x＜$\frac{π}{2}$，條件q：sinx＜x＜tanx，則p是q的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 法一、充分性：在單位圓中，|PB|=sinx，$\widehat{PA}$=x，|AQ|=tanx，由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于△AOQ的面積，可得|PB|＜$\widehat{PA}$＜|AQ|，化簡(jiǎn)可得sinx＜x＜tanx，舉反例說(shuō)明不必要；
法二、構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)說(shuō)明當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，有sinx＜x＜tanx；舉例說(shuō)明當(dāng)sinx＜x＜tanx時(shí)，不一定有0＜x＜$\frac{π}{2}$．

解答 解：法一、如圖，當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，
設(shè)角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，作PB⊥x軸，B為垂足，
單位圓和x軸的正半軸交于點(diǎn)A，作AQ⊥x軸，且點(diǎn)Q∈OP，
如圖所示，則|PB|=sinx，$\widehat{PA}$=x，|AQ|=tanx，
由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于△AOQ的面積，
故有$\frac{1}{2}$|OA|•|PB|＜$\frac{1}{2}$$\widehat{PA}$•|OA|＜$\frac{1}{2}$|OA|•|AQ|，
即|PB|＜$\widehat{PA}$＜|AQ|，即 sinx＜x＜tanx．
反之，若sinx＜x＜tanx，不一定有0＜x＜$\frac{π}{2}$，
如當(dāng)x小于$\frac{3π}{2}$且無(wú)限接近于$\frac{3π}{2}$時(shí)，sinx＜0，tanx→+∞，滿足sinx＜x＜tanx，
但不滿足0＜x＜$\frac{π}{2}$．
∴p是q的充分不必要條件．
法二、當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，
則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1＞0，
故f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx；
反之，若sinx＜x＜tanx，不一定有0＜x＜$\frac{π}{2}$，
如當(dāng)x小于$\frac{3π}{2}$且無(wú)限接近于$\frac{3π}{2}$時(shí)，sinx＜0，tanx→+∞，滿足sinx＜x＜tanx，
但不滿足0＜x＜$\frac{π}{2}$．
∴p是q的充分不必要條件．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷方法，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線的理解，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．