Question

設(shè)數(shù)列|a_n|的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=7，已知a_n+1=6S_n+7（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求證：{a_n}是等比數(shù)列，并求a_n．
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₇a_n，T_n是數(shù)列{

3

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和，求使T_n＞

1

4

（n²-5n）對(duì)所有的n∈N⁺都成立的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到a_n+1=7a_n（n≥2），再求出數(shù)列第二項(xiàng)后即可說(shuō)明{a_n}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₇a_n，進(jìn)一步代入

3

bnbn+1

，由裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{

3

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n，求出其最小值，代入T_n＞

1

4

（m²-5m）求解一元二次不等式得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n+1=6S_n+7，得
a_n=6S_n-1+7（n≥2），
兩式作差得：a_n+1-a_n=6a_n，即a_n+1=7a_n（n≥2）．
又a₁=7，代入a_n+1=6S_n+7，得a₂=6a₁+7=6×7+7=49，
∴

a2

a1

=7=

an+1

an

(n≥2)，即{a_n}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為7，公比為7，
∴an=a1qn-1=7n；
（Ⅱ）b_n=log7an=log77n=n，

3

bnbn+1

=

3

n(n+1)

=3(

1

n

-

1

n+1

)，
則Tn=3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=3(1-

1

n+1

)
要使T_n＞

1

4

（m²-5m）對(duì)所有的m∈N⁺都成立，則

1

4

（m²-5m）＜（T_n）_min，
而當(dāng)n=1時(shí)(Tn)min=

3

2

，
∴

3

2

＞

1

4

(m2-5m)，即m²-5m-6＜0，
∴-1＜m＜6．
∴使T_n＞

1

4

（m²-5m）對(duì)所有的n∈N⁺都成立的最大正整數(shù)m的值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．