考點:數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式,作差后得到a
n+1=7a
n(n≥2),再求出數(shù)列第二項后即可說明{a
n}是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式求得a
n;
(Ⅱ)把數(shù)列{a
n}的通項公式代入b
n=log
7a
n,進一步代入
,由裂項相消法求得數(shù)列{
}的前n項和T
n,求出其最小值,代入T
n>
(m
2-5m)求解一元二次不等式得答案.
解答:
(Ⅰ)證明:由a
n+1=6S
n+7,得
a
n=6S
n-1+7(n≥2),
兩式作差得:a
n+1-a
n=6a
n,即a
n+1=7a
n(n≥2).
又a
1=7,代入a
n+1=6S
n+7,得a
2=6a
1+7=6×7+7=49,
∴
=7=(n≥2),即{a
n}是等比數(shù)列,且首項為7,公比為7,
∴
an=a1qn-1=7n;
(Ⅱ)b
n=
log7an=log77n=n,
=
=3(-),
則
Tn=3(1-+-+…+-)=
3(1-)要使T
n>
(m
2-5m)對所有的m∈N
+都成立,則
(m
2-5m)<(T
n)
min,
而當n=1時
(Tn)min=,
∴
>(m2-5m),即m
2-5m-6<0,
∴-1<m<6.
∴使T
n>
(m
2-5m)對所有的n∈N
+都成立的最大正整數(shù)m的值為5.
點評:本題考查了等比關(guān)系的確定,考查了裂項相消法求數(shù)列的前n項和,訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法,是中檔題.