Question

已知命題P：關于x的不等式

x4-x2+1

x2

＞m的解集為{x|x≠0，且x∈R}；命題Q：f（x）=-（5-2m）^x是減函數(shù)．若P或Q為真命題，P且Q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍？

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題P：利用基本不等式可得

x4-x2+1

x2

=x2+

1

x2

-1≥1，由于關于x的不等式

x4-x2+1

x2

＞m的解集為{x|x≠0，且x∈R}，可得m＜1．命題Q：f（x）=-（5-2m）^x是減函數(shù)，可得5-2m＞1，解得m．若P或Q為真命題，P且Q為假命題，則P與Q必然一真一假．

解答： 解：命題P：由不等式

x4-x2+1

x2

=x2+

1

x2

-1≥2

x2• 1 x2

-1=1，當且僅當x=±1時取等號，
∵關于x的不等式

x4-x2+1

x2

＞m的解集為{x|x≠0，且x∈R}，
∴m＜1．
命題Q：f（x）=-（5-2m）^x是減函數(shù)，∴5-2m＞1，解得m＜2．
若P或Q為真命題，P且Q為假命題，
∴P與Q必然一真一假．
當P真Q假時，

m＜1 m≥2

，解得m∈∅；
當Q真P假時，

m≥1 m＜2

，解得1≤m＜2．
綜上可得：實數(shù)m的取值范圍是[1，2）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．