Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，函數(shù)g（x）=axe^x-4x，其中a為大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：g（x）-2f（x）≥2（lna-ln2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）=\frac{1-x}{x}$，----------------------------------------------------------------（1分）
令f'（x）＞0得0＜x＜1，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
令f'（x）＜0得x＞1，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．---------------------（3分）
（Ⅱ）證明：g（x）-2f（x）=axe^x-2x-2lnx-2．
令F（x）=axe^x-2lnx-2x-2，---------（4分）
則$F'（x）=（{x+1}）（{a{e^x}-\frac{2}{x}}）=\frac{x+1}{x}（{ax{e^x}-2}）$，
令G（x）=axe^x-2，
則G'（x）=a（x+1）e^x＞0，故G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．-------------------------（6分）
而G（0）=-2＜0，$G（{\frac{2}{a}}）=2（{{e^{\frac{2}{a}}}-1}）＞0$，故存在${x_0}∈（{0，\frac{2}{a}}）$，使得G（x₀）=0，
即$a{x_0}{e^{x_0}}-2=0$．---------------------------------------------------------------------------（8分）
則x∈（0，x₀）時(shí)，G'（x）＜0，故F'（x）＜0；x∈（x₀，+∞）時(shí)，G'（x）＞0，故F'（x）＞0．
則F（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，------------------------------------（10分）
故$F（x）≥F（{x_0}）=a{x_0}{e^{x_0}}-2{x_0}-2ln{x_0}-2=-2（{{x_0}+ln{x_0}}）$=$-2ln（{{x_0}{e^{x_0}}}）=-2ln\frac{2}{a}=2lna-2ln2$．
故g（x）-2f（x）＞2（lna-ln2）．--------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的證明，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．