Question

8．若等邊三角形ABC的邊長為2，N為AB的中點，且AB上一點M滿足$\overrightarrow{CM}$=x$\overrightarrow{CA}$+y$\overrightarrow{CB}$，則當(dāng)$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$取最小值時，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 可畫出圖形，并由條件可知x＞0，y＞0，并可得出x+y=1，從而得到$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{4（x+y）}{y}$，由基本不等式便可得出$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值，以及對應(yīng)的x，y值，從而用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CM}$，而$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，這樣根據(jù)△ABC為等邊三角形即可進行向量數(shù)量積的運算，從而求出$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的值．

解答 解：如圖，可知，x＞0，y＞0；

∵M，A，B三點共線，且$\overrightarrow{CM}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}$；
∴x+y=1；
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{4（x+y）}{y}$
=$1+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}+4$
≥1+4+4，當(dāng)$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$，即y=2x時取“=”，即$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$取最小值；
此時x=$\frac{1}{3}$，$y=\frac{2}{3}$；
∵N是AB的中點；
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=（\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}）•$$[\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{4}{3}+2+\frac{8}{3}）$
=3．
故選：D．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，三點A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，基本不等式的運用，注意基本不等式等號成立的條件，向量數(shù)量積的運算及計算公式．