Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為9x-y+3=0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）（x∈[0，3]）的值域為A，函數(shù)f（x）（x∈[a，a+$\frac{3}{2}$]）的值域為B，當(dāng)B⊆A時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（-1）=9及點（-1，f（-1））在切線9x-y+3=0上列關(guān)于m，n的方程組求得m，n的值，則函數(shù)解析式可求，進一步利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，在（2，3）內(nèi)單調(diào)遞增，求出集合A，再由x∈[a，a+$\frac{3}{2}$]的值域為B，且B⊆A得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2mx+n，
∴f′（-1）=-2m+n+3，①
由題意可知f′（-1）=9，即2m-n+6=0，
∵點（-1，f（-1））在切線9x-y+3=0上，
∴f（-1）=-6，即（-1）³+m（-1）²+n（-1）-2=-6，即m-n+3=0，②
聯(lián)立①②解得m=-3，n=0，
∴f（x）=x³-3x²-2．
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，在（2，3）內(nèi)單調(diào)遞增，
且f（0）=f（3）=-2，f（2）=-6，∴A=[-6，-2]．
由（1）知f（-1）=f（2）=-6，
∵B⊆A，∴$[{a，\;a+\frac{3}{2}}]⊆[{-1，\;3}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥-1\\ a+\frac{3}{2}≤3\end{array}\right.$，解得$-1≤a≤\frac{3}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．