Question

18．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
（1）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值．
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，且角A，B，C成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）a，b，c成等比數(shù)列，可得b²=ac．由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，利用基本不等式，即可求cosB的最小值．
（2）確定$∠B=\frac{π}{3}，cosB=\frac{1}{2}$，利用余弦定理可得a=c，從而可得△ABC為等邊三角形．

解答 （1）解：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac．
在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，
∴cosB的最小值為$\frac{1}{2}$．---------------------------------------------------------（6分）
（2）證明：∵角A，B，C成等差數(shù)列，2B=A+C，A+B+C=π
∴$∠B=\frac{π}{3}，cosB=\frac{1}{2}$．--------------------------------------------------------（8分）
∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac．
又b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
∴a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0．∴a=c，即A=B，
∴$A=B=C=\frac{π}{3}$
∴△ABC為等邊三角形．--------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．