【題目】試求最小的正整數(shù),使得對于任何個連續(xù)正整數(shù)中,必有一數(shù),其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).
【答案】13
【解析】
首先,可以指出12個連續(xù)正整數(shù),例如,994,995,…,999,1000,1001,…,1005,其中任意一個數(shù)的各位數(shù)字之和都不是7的倍數(shù),因此,
再證,任何連續(xù)13個正整數(shù)中,必有一個數(shù),其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).
對每個非負整數(shù),稱如下10個數(shù)所構成的集合
為一個“基本段”.13個連續(xù)正整數(shù),要么屬于兩個基本段,要么屬于三個基本段.
當13個數(shù)屬于兩個基本段時,根據抽屜原理,其中必有連續(xù)的7個數(shù)屬于同一個基本段;
當13個連續(xù)數(shù)屬于三個基本段時,其中必有連續(xù)的10個數(shù)同屬于.現(xiàn)在設
是屬于同一個基本段的7個數(shù),它們的各位數(shù)字之和分別是
顯然,這7個和數(shù)被7除的余數(shù)互不相同,其中必有一個是7的倍數(shù).
因此,所求的最小值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】詹姆斯·哈登(James Harden)是美國NBA當紅球星,自2012年10月加盟休斯頓火箭隊以來,逐漸成長為球隊的領袖.2017-18賽季哈登當選常規(guī)賽MVP(最有價值球員).
年份 | 2012-13 | 2013-14 | 2014-15 | 2015-16 | 2016-17 | 2017-18 |
年份代碼t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
常規(guī)賽場均得分y | 25.9 | 25.4 | 27.4 | 29.0 | 29.1 | 30.4 |
(Ⅰ)根據表中數(shù)據,求y關于t的線性回歸方程(,*);
(Ⅱ)根據線性回歸方程預測哈登在2019-20賽季常規(guī)賽場均得分.
(附)對于一組數(shù)據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,
(參考數(shù)據,計算結果保留小數(shù)點后一位)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在,上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在處的切線平行于軸,是否存在整數(shù),使不等式在時恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)=.
(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;
(2)已知在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-1+ (a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況,交通部門對100名家用轎車駕駛員進行調查,得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為:在55名男性駕駛員中,平均車速超過的有40人,不超過的有15人;在45名女性駕駛員中,平均車速超過的有20人,不超過的有25人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有%的把握認為平均車速超過的人與性別有關.
平均車速超過人數(shù) | 平均車速不超過人數(shù) | 合計 | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計 |
(2)以上述數(shù)據樣本來估計總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛,記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過的車輛數(shù)為X,若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列和數(shù)學期望.
參考公式與數(shù)據:
,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1存在點D,使得AD⊥A1B,并求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中,
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上四個命題中,正確命題的序號是________.
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