Question

9．函數y=cosx-$\sqrt{3}$sinx在[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z上是減函數，當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，函數的值域為[-1，2]．

Answer 1

分析 由條件利用輔助角公式化簡函數的解析式，再根據余弦函數的單調性求得函數的減區(qū)間；當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，利用余弦函數的定義域和值域求得函數y的值域．

解答 解：函數y=cosx-$\sqrt{3}$sinx=2cos（x+$\frac{π}{3}$），令2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，
求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數的減區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，2cos（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，2]，
故函數的值域為[-1，2]，
故答案為：[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；[-1，2]．

點評 本題主要考查輔助角公式，余弦函數的單調性、余弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．